ภาพข้างบนแสดงการโคจรของดาวเทียมรอบโลก วงโคจรเป็นวงรี

ตำแหน่งที่ใกล้ที่สุดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของโลก

7,000 ก.ม. (ประมาณ 500 ก.ม.เหนือผิวโลก

รัสมีของโลกเท่ากับ 6,500 ก.ม.) ตำแหน่งที่ไกลที่สุด

อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของโลก 19,616 ก.ม.

โปรดสังเกตุว่า ความเร็วของดาวเทียมไม่คงที่ ตอนเข้าใกล้โลก

ความเร็วสูงขึ้น ตอนห่างออกไปจากโลกความเร็วจะต่ำลง

ผู้ที่ค้นพบกฎของวงโคจร คือ โจฮันเนส เคพเลอร์

หลังจากศึกษาข้อมูลการโคจรของดาวอังคาร เป็นเวลาหลายปี

กฎของเคพเลอร์ว่าด้วยวงโคจรของดาวเคราะห์กล่าวไว้ว่า

(1) วงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี

มีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัส

(2) ในเวลาเท่ากัน radius vector

(เส้นตรงที่ลากจากดวงอาทิตย์ไปยังดาวเคราะ)กวาดพื้นที่เท่ากัน

(3) คาบเวลา (period) ของวงโคจรยกกำลังสอง

เป็นปฏิภาคตรงกับ major axis ยกกำลังสาม

เคพเลอร์ค้นพบว่า ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์อย่างไร ?

แต่ไม่ตอบคำถามว่า ทำใมจึงเป็นเช่นนั้น ?

ผู้ที่สามารถอธิบายเหตุผลได้คือ เซอร์ ไอแซค นิวตัน

ซึ่งสรุปเป็น 2 กฎ คือ

(1) กฎของนิวตันว่าด้วยการเคลื่อนที่

(Newton's law of motion)

(2) กฎของนิวตันว่าด้วยแรงโน้มถ่วง(Newton's law of universal gravitation)

การคำนวนวงโคจรนั้นไม่ยาก สามารถหาสูตรได้จาก

ตำราฟิสิกส์ทั่วไป แต่การหาว่าเวลาไหน ดาวเทียมจะอยู่ที่ไหน

ค่อนข้างยาก หาไม่พบใน ตำราฟิสิกส์ระดับปริญญาตรี

สูตรที่ใช้ในการคำนวนวงโคจรของดาวเทียม

ที่ใช้ในภาพแอนนิเมชั่นนี้ คือ

สมการวงโคจรของดาวเทียม ในรูป poloar coordinate



การหาว่า เวลาไหน ? ดาวเทียมอยู่ที่ไหน ? ใช้สูตร



เราจะต้องทราบตำแหน่งและความเร็วของดาวเทียม

ณ จุดใดจุดหนึ่ง ในวงโคจร จึงจะสามารถ คำนวณหาตำแหน่ง

และความเร็ว ณ จุดใดๆ ในวงโคจรได้ ในโจทย์ข้อนี้เรากำหนดให้

ที่เวลา t=0 ตำแหน่งและความเร็วของดาวเทียม คือ



การคำนวณค่าคงที่ต่างๆ ใช้สูตร




มีปัญหาในการคำนวณเล็กน้อย เนื่องจากสมการ (2)เป็น transcendental equation

ซึ่งไม่สามารถแก้ได้โดยวิธีปกติธรรมดา

 จะต้องใช้วิธีเดาคำตอบไปเรื่อยๆ จนกว่าจะพอใจ

 วิธีที่นิยมใช้ คือ Newton's method